家族で行こう!自転車の旅 /算数・数学雑記帳
自転車雑記。算数・数学について思いついたことを綴りつつ動画で解説します。
定積分で面積が求められる理由
「定積分で面積が求められる理由」

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 あまりにも有名な話ですが、作家の曽野綾子さんが
 「二次方程式を解かなくても生きてこられた」「二次方程式などは社会へ出て何の役にも立たないので、このようなものは追放すべきだ」と主張し、教育課程審議会会長の旦那様の三浦朱門さんが教育課程審議会で削除を主張し、中学課程で「二次方程式の解の公式」は必修の事項ではなくなったことがあった(現在は復活)。
 曽根さんは数学をあまり勉強しなかったから、「あなたの小説を読まなくても生きてこられた」「あなたの小説など社会に出て何の役にも立たないので、このようなものは追放すべきだ」という当たり前の反論が想像できなかったのでしょう。
 数学の講師をやっていると、「数学って将来役に立つのですか?」という質問は何度も受ける。質問する生徒は「数学が金儲けにつながるか」という趣旨で聞いているので、この質問に対して私はいつも
「役になんか立たないよ」「面白くて好きならやればいいし、つまらなくて嫌いなら、やらなくてもいくらでも生きていく道はある」と答えてきた。
 数学ができない、苦手な生徒に、ちょっとでも点数を取らせる方法として、公式を丸暗記させておいて、数字を当てはめさえすれば答えが出るような問題を出するという手があり、それをやる教師は少なからず存在する。しかし、それではつまらないし、それこそ「何の役にも立たない」。
 どうしてそうなるのかを考えるから面白いのだ。
 ということで、今回は「定積分を計算すると面積が求められる理由」です。



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なぜ、(負)✕(負)=(正) なのか? 虚数(複素数)を使って美しく調和
 なぜ、(負)✕(負)=(正) なのか?これを「証明」することはできません。なぜならこれは定義だから。二等辺三角形の二辺が等しいことが証明できないのと同じです。
 ただ、定義には二種類あり(これは私の勝手な分類)、誰でもすんなり受け入れられる定義、例えば、2の3乗=2✕2✕2や4!=4✕3✕2✕1のようなもの。一方、すんなりは受け入れられず、「なぜ?」と聞きたくなる定義、例えば、2の0乗=1や、0!=1,5の(1/2)乗=ルート5のようなもの。(負)✕(負)=(正)も後者であろう。
 習ってない人に0乗はいくつかを聞くと、100%0と答える。それが自然な感覚だろう。すんなり受け入れられない定義は、一見不自然そうだが、そう定義することによって、都合がよく、美しく調和するからそう定義するのである。ならば、証明はできなが、「なぜ、そう定義すると都合が良くて美しく調和するのか?」という疑問には答える必要があるであろう。
 中学1年生に(負)✕(負)=(正)を説明する時は、水槽から水が毎分3L排出される(-3L/分)、2分前(-2分)は?今より+6Lだな。といった感じでお茶を濁している。
 ここではより美しく調和する、虚数(複素数)を使った説明をしてみたい。


なぜ、0!=1 はこちら

0乗が1、となる訳

弧度法を使う理由



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素数のお話 
素数のお話


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「0の階乗はなぜ1なの?」はこちら



2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97……
 素数は無限に存在します(証明は動画で)。しかし、人類が現時点で知っている素数は有限です(約2233万桁、広辞苑が全て数字くらいの数!!)。
 2以外の素数は全て奇数なので、17,19のように隣同士の奇数がともに素数である場合を「双子素数」といいます。この双子素数が無限にあるかどうかはまだわかっていません。私はないような気がします。
 というのは、素数は数が小さいうちは頻繁に出現しますが(100以下なら連続不出現は90~96の7が最長)、数が大きくなると、なかなか素数が出現しない区間が存在します。連続素数不出現の区間はどれくらい長いのか?(これも動画内で)
 3,5,7は三つ子素数で、三つ子素数はこれしかありません。これを証明するのは、入試問題にもなったことがあるので、それほど難しくありません。考えてみて下さい。




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なぜ弧度法を使うの?なぜ360度を2πとしなければいけないの?
なぜ弧度法を使うの?なぜ360度を2πとしなければいけないの?

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「0の階乗はなぜ1なの?」はこちら

 高校で三角比を習っていると、ある日突然「これからは角度を度数法(1周を360度)ではなく、弧度法(1周を2πラジアン)を使うように」と言い渡される。
 しかし、「彼はその時考え方を180度転換した」という表現を「彼はその時考え方をπラジアン転換した」と言うように、とまでは強制されることはない。(ちなみに、ガッツ石松は「ボクシングに出会って人生が380度変わった」そうである。)
 なぜ、小学校以来慣れ親しんできた度数法を捨て去らなければならないのだろうか?
 考えてみれば、1周は360度と何の疑問も持たずに当たり前のことのように受け入れてきたが、360という数字だって、何の根拠があるのだろうか?


続きは動画で。
 

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0乗はなぜ1?(-2)乗、(1/2)乗はいくつ?
0乗はなぜ1?(-2)乗、(1/2)乗はいくつ?



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「0の階乗はなぜ1なの?」はこちら

 5の3乗=5✕5✕5 指数は自然数だけで定義している限りは意味は明白で、なぜ、
5の3乗=5✕5✕5なのですか?と聞く人はいないし、もしきかれたとしても「そう決めたから」としか答えようがない。
 しかし、「5の0乗=1、5の(-2)乗=1/25、5の(1/2)乗=ルート5、これは定義、そう決めたことなので覚えておきなさい」と言われても文句は言えないが、「なぜ?」と聞きたくなるのが人情だろう。
 このように、「なぜ?」と聞きたくなる定義は、そう定義すると都合が良くて整合性が保たれるからそう定義するので、何がどのように都合が良いのかについては答えなければならない。

続きは動画で。



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ゼロの階乗(0!)はいくつ?
算数・数学について思いついたことを書き綴り、動画で解説していく予定です。

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 4人でリレーの順番を決める時には、4✕3✕2✕1=24通りです。
 このように1ずつ減りながら1まで掛け算することを「階乗」といい、4!と表します。一般的に、n!を
n!=n(n-1)(n-2)(n-3)……3✕2✕1と定義し、nが自然数である限りは、この定義に対して「なんで?」と聞く人もいないだろうし、もし聞かれたとしても、「そう定義したからだ」としか答えようがない。
 しかし、0!=1 と言われたら、「なんで?」と聞きたくなるのが人情であろう。0!=1であることも定義なので、「そう定義したからだ」という答えでも構わまいのですが、高校で習う数学の定義には「なんで?」と聞きたくなるものが多い。
 実は、なんでそんな定義にするのと聞きたくなる定義は、そう定義すると都合が良くて整合性が保たれるからです。
 ならば、「どう都合が良くて、整合性が保たれるの?」という疑問には答えなければならない。
続きは動画で



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